評論員文章

【資料圖】

e是自然對數的底數,是一個無限不循環小數,其值是2.71828……,是這樣定義的：

當n->∞時,(1 1/n)^n的極限.

注：x^y表示x的y次方.

隨著n的增大,底數越來越接近1,而指數趨向無窮大,那結果到底是趨向于1還是無窮大呢?其實,是趨向于2.71828……,不信你用計算器計算一下,分別取n=1,10,100,1000.但是由于一般計算器只能顯示10位左右的數字,所以再多就看不出來了.

e在科學技術中用得非常多,一般不使用以10為底數的對數.以e為底數,許多式子都能得到簡化,用它是最“自然”的,所以叫“自然對數”.

這里的e是一個數的代表符號,而我們要說的,便是e的故事.這倒叫人有點好奇了,要能說成一本書,這個數應該大有來頭才是,至少應該很有名吧?但是搜索枯腸,大部分人能想到的重要數字,除了眾人皆知的0及1外,大概就只有和圓有關的π了,了不起再加上虛數單位的i=√-1.這個e究竟是何方神圣呢?

在高中數學里,大家都學到過對數（logarithm）的觀念,也用過對數表.教科書里的對數表,是以10為底的,叫做常用對數（common logarithm）.課本里還簡略提到,有一種以無理數e=2.71828……為底數的對數,稱為自然對數（natural logarithm）,這個e,正是我們故事的主角.不知這樣子說,是否引起你更大的疑惑呢?在十進位制系統里,用這樣奇怪的數為底,難道會比以10為底更「自然」嗎?更令人好奇的是,長得這么奇怪的數,會有什么故事可說呢?

這就要從古早時候說起了.至少在微積分發明之前半個世紀,就有人提到這個數,所以雖然它在微積分里常常出現,卻不是隨著微積分誕生的.那么是在怎樣的狀況下導致它出現的呢?一個很可能的解釋是,這個數和計算利息有關.

我們都知道復利計息是怎么回事,就是利息也可以并進本金再生利息.但是本利和的多寡,要看計息周期而定,以一年來說,可以一年只計息一次,也可以每半年計息一次,或者一季一次,一月一次,甚至一天一次；當然計息周期愈短,本利和就會愈高.有人因此而好奇,如果計息周期無限制地縮短,比如說每分鐘計息一次,甚至每秒,或者每一瞬間（理論上來說）,會發生什么狀況?本利和會無限制地加大嗎?答案是不會,它的值會穩定下來,趨近於一極限值,而e這個數就現身在該極限值當中（當然那時候還沒給這個數取名字叫e）.所以用現在的數學語言來說,e可以定義成一個極限值,但是在那時候,根本還沒有極限的觀念,因此e的值應該是觀察出來的,而不是用嚴謹的證明得到的.