摘要：基于廣義相對論構建了一種理論模型，用于解釋嘉然的年齡看起來遠小于其他幾位A-SOUL成員的觀測事實。我們根據嘉然擁有操控引力的超能力的事實，合理假設A-SOUL成員們所生活的枝江其實是一個由嘉然創造出來的大質量黑洞。通過考慮黑洞視界外部引力場中的鐘慢效應，我們導出了嘉然的固有年齡與其身高的數學關系。結果表明，如果嘉然的身高足夠矮，那么她的固有年齡將會遠小于A-SOUL的其他幾位成員。

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一、引言

嘉然?[1]?是虛擬偶像團體A-SOUL?[2]?的成員之一，又名Diana，bilibili ID為“嘉然今天吃什么”。嘉然曾獲bilibili 2021百大UP主、2021年度虛擬UP主，截至2022年3月7日擁有1.63萬艦長?[3]?，是目前整個可觀測宇宙中艦長數量最多的UP主。

官方設定顯示?[4]?，A-SOUL五人組的年齡相差不大，官方年齡都在20歲左右。但長期以來的觀測卻顯示，嘉然實際表現出的年齡要遠小于其他四人，她看上去可能最多也只有15歲。也就是說，嘉然的官方年齡與實際觀測到的年齡之間存在巨大的差異，這常被稱為?Diana Age Tension，或者嘉然年齡之謎。對于這一矛盾，A-SOUL官方以及嘉然本人并沒有給出合理的答復。

雖然嘉然本人曾在一次直播中聲稱自己的真實年齡只有三歲，且這個三歲與官方年齡的設定并不矛盾?[5]?，但這顯然不是對年齡之謎的合理解答。一來，三歲這個數值太小，遠小于實際觀測到的年齡。二來，即使嘉然擁有一個比官方年齡小一些的實際年齡，她也沒有解釋為什么會小一些。因此，在本項研究發表之前，嘉然的年齡之謎沒有任何一種合理的解決方案。

本文將第一次給出嘉然年齡之謎的潛在的解決方案。我們從廣義相對論出發，考慮嘉然的年齡受到引力場中鐘慢效應的影響，并以此構建模型推導出了嘉然年齡的表達式。本文接下來的內容安排如下：第二節討論廣義相對論相關的理論基礎；第三節構建了一個嘉然-枝江黑洞的toy model，給出了固定身高條件下的嘉然年齡的表達式；第四節構建了更加普遍的時變身高的理論模型，給出了嘉然年齡的實際觀測值對嘉然身高增長速率的限制。最后一節我們做出一些討論并對研究的結論進行總結。

二、理論基礎

在廣義相對論中，物質之間的萬有引力被描述為時空彎曲所展現出的一種幾何效應。而所謂的幾何效應，其實就是時間空間度量方式（時空度規）的改變。其中，空間度量方式的改變體現為粒子在引力場中的運動不再走直線。而時間度量方式的改變就體現為引力場中時間流逝速度的改變。本節介紹廣義相對論中的一些有用的結論，這些內容可以在許多廣義相對論的教科書中被找到，例如?[6] [7] [8]?.

2.1 史瓦西度規與黑洞

一個靜態球對稱天體外部的時空幾何被史瓦西（Schwarzschild）度規所描述：其中c為光速，G為引力常數，M為天體質量，r為到天體中心的坐標距離。史瓦西度規的時空彎曲程度可以由曲率張量的縮并描述?[9]?：可以看到，對于給定的質量為M的天體，離它的中心越近，時空彎曲的程度越大，或者說引力越大。而如果天體是一個質點，那么當??時就會出現時空曲率無窮大的情況。這種情況被稱為時空奇點。

由史瓦西度規還可以看到，當??且天體的半徑小于這個r值時，度規的11分量，即??前的系數就會無窮大。這意味著??對應的那個球面是一個事件視界，球面內部的時空彎曲程度如此劇烈，以至于連光（或光速運動的粒子）都無法克服引力從視界內逃逸至視界外。我們把這種存在事件視界的天體稱為黑洞，而??被稱為黑洞的視界半徑，或史瓦西半徑。

2.2 引力場中的鐘慢效應

彎曲時空（有引力場）和平直時空（沒有引力場）相比，一個顯著的可觀測效應就是引力場中時間的流逝速度會發生改變。我們把處于引力場中的物體實際經歷的時間定義為固有時間??，而無引力場時的時間則為坐標時間??，二者的關系為：其中??為時空度規的00分量。對于前面所說的史瓦西度規，可以讀出：所以處于靜態球對稱天體外部某處的物體的固有時間為：可以看到，天體的質量越大，離天體越近，時間流逝越慢。這就是引力場中的鐘慢效應。（這里推薦觀看電影《星際穿越》，更直觀地理解鐘慢效應）

三、嘉然-枝江黑洞模型

在構建具體的理論模型之前，讓我們注意到一個基本的事實——嘉然擁有操控引力的超能力。這一結論不久之前由枝江大學物理系的一項研究得到?[10]。不過在他們的研究中只考慮了牛頓引力，并沒有考慮廣義相對論的效應。本節我們只構建一個toy model，用于表達清楚其中的物理思想。更普遍的模型我們放在下一節引入。

3.1 模型假設

我們的toy model包含三個基本假設：（1）A-SOUL的成員們所在的虛擬城市枝江其實是一個由嘉然的超能力創造出來的黑洞。這個假設相當樸素，比如嘉然完全可以通過給時空中的物質場提供一個足夠大的密度擾動，或者通過宇宙相變導致的宇宙弦來產生黑洞?[11] [12]?。總之，會者不難。（2）A-SOUL的成員們所處的位置是黑洞的視界附近，這樣可以讓引力效應更加顯著，也可以簡化我們之后的計算。（3）成員們出生之后身高保持不變，這同樣是為了簡化計算。

圖1給出了我們的嘉然-枝江黑洞模型的更形象的描述。其中，設嘉然（左）的固有年齡為??，身高固定為??，設其他成員，如貝拉（右），的固有年齡為??，身高固定為??，枝江黑洞的質量設為??.?眾所周知，嘉然的身高比其他幾位成員要矮許多，因此她的頭部與黑洞視界之間的距離要比其他成員更近。根據上一節中給出的鐘慢效應公式，離黑洞視界越近的地方時間流逝速度越慢。所以，嘉然頭部的時間流逝速度要比其他成員的慢許多。也就是說，假如大家同時出生，其他幾位成員的頭部經歷了20年的時間，那么嘉然頭部所經歷的時間就會遠少于20年。這就是嘉然看起來遠比其他幾位年齡小的原因。方便起見，接下來如不加特殊說明，“年齡”一詞均指“頭部固有年齡”。

3.2 嘉然的固有年齡

基于圖1所示的模型，從鐘慢效應公式出發很容易推導出嘉然固有年齡的表達式：我們設其他成員的身高固定為??米?，年齡設為??歲?，來看一下嘉然的固有年齡與枝江黑洞的質量??，以及自己的身高??的關系。可以看到，如果枝江黑洞的質量很小，那么嘉然的固有年齡將與她的身高沒太大關系，她會和其他成員一樣都是在20歲左右。然而，如果枝江黑洞的質量大于??，大約是太陽質量的1/20000，那么嘉然的身高就會對她的固有年齡造成非常大的影響。身高越低，則嘉然的固有年齡越小。而當枝江黑洞的質量差不多大于一個太陽質量時，嘉然的固有年齡與她的身高的數學關系就會穩定下來，不再隨枝江黑洞的質量改變。

3.3 黑洞超大質量極限

我們對前面的表達式在超大質量極限下的“黑洞質量無關性”非常感興趣。這個結論也是易于推導的：可見，在超大質量極限下，嘉然與其他成員的固有年齡之比正比于她們身高之比的1/2次方。我們將這一結果呈現在圖3中，可以看到如果嘉然的身高如傳說中那樣只有一米吧?[13]?，那么在我們這個理論模型中她的頭部固有年齡就只有15歲左右。這非常符合嘉然年齡的實際觀測值。可見，如果枝江黑洞的質量足夠大，且嘉然的身高只有一米甚至更矮，那么引力場中的鐘慢效應將會使嘉然的固有年齡遠小于其他幾位成員。

四、包含時變身高的普遍模型

上一節討論的是toy model，采用了三個基本假設。現在我們把固定身高假設去掉，考慮一個更加普遍的模型。也就是說，考慮圖1中成員們的身高是隨各自的固有時間慢慢長高的（這里的固有時間依然是指頭部固有時間），比如設身高在15歲之前隨時間線性增長：其中，每位成員的身高增長速率 k?各不相同。我們設成員們在15歲之后身高停止增長，固定為15歲時各自的身高 H . 把以上的??代入第二節的鐘慢效應公式可以得到：繼續考慮的超大質量黑洞極限，解這個方程可以得到：其中?T?為成員現在各自的固有年齡。

由于嘉然的坐標時間??與其他成員的坐標時間??是相等的，那么就可以通過以上的式子去計算嘉然的固有年齡。我們依然設其他成員的現在的固有年齡為??歲?，目前的身高為??米?（即其他成員的身高增長率為??厘米/年?），可以計算出嘉然現在的固有年齡??與她身高的增長率??的關系為：其中，??.

以上的計算結果被展示在了圖4當中。可以看到，如果實際觀測將嘉然的固有年齡限定在15歲以下，那么在我們這個線性增高模型當中，嘉然每年的身高增長就不能超過2.4厘米。這意味著嘉然現在的身高被限定在了??米。還可以看到，在身高增長速率趨于0的極限下，嘉然的最低固有年齡可以低至13歲，這就是我們這個模型當中嘉然年齡的下限。

五、討論與結論

最后進行一些總結和討論。我們基于廣義相對論的鐘慢效應，假設枝江是嘉然用超能力制造出來的質量足夠大的黑洞，推導計算了嘉然的實際固有年齡。在固定身高的條件下，如果枝江黑洞的質量足夠大，那么當嘉然的身高低于1米時，她的頭部固有年齡將會小于15歲。而在身高線性增長的條件下，同樣考慮黑洞超大質量極限，如果嘉然的身高增長速率低于2.4厘米/年，那么她的頭部固有年齡也會小于15歲。這表明我們的模型非常成功地解釋了為什么嘉然看上去遠比其他幾位A-SOUL成員年輕。也就是說，官方給出的嘉然的年齡并沒有考慮廣義相對論的修正，所以才和嘉然自身的固有年齡相差巨大。

也許你會問，在這個模型當中，嘉然的腳的年齡將會遠比其頭部年齡要小，這合理嗎？這當然合理啊，不然為什么gn天天說嘉然的jio小小的呢？顯然，這也是一種廣義相對論效應。總之，這個理論模型是目前唯一一個能夠解釋 Diana Age Tension 的模型，它也許不成熟，但卻是開創性的。感興趣的讀者可以繼續follow完善這項研究，A-SOUL世界中也還有許多其他的有趣的物理問題等待我們去探索，讓我們繼續加油吧。

致謝

感謝中國科學院大學每個月給我博士生補助，客觀上為這項研究提供了Fund. 感謝阿b的小伙伴們在我視頻的評論區參與討論，為這項研究提供了一定的思路。感謝阿z的小伙伴們長期以來對我的支持。

參考文獻

[1]?bilibili-嘉然主頁[2]?bilibili-A-SOUL主頁[3]?bilibili-虛擬觀測日報【3月6日】[4]?bilibili-【A-SOUL】成員小檔案1.0[5]?bilibili-【嘉然】我今天三歲啦！！！【直播】[6]?趙崢、劉文彪 《廣義相對論基礎》[7]?S. 溫伯格 《引力和宇宙學》[8]?梁燦彬、周彬 《微分幾何入門與廣義相對論（上冊）》[9]?陳斌 《廣義相對論》P300[10]?bilibili-嘉然的超能力是...？【直播剪輯】[11]?B.J. Carr, and S.W. Hawking, Black Holes in the Early Universe. Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 168 (1974) 399-415.[12]?S.W. Hawking, Black Holes from Cosmic Strings. Phys.Lett.B 231 (1989) 237-239.[13]?bilibili-嘉然 ：我的身高優勢也太明顯了吧哈哈哈哈…